「ユークリッドの互除法」の原理がわからない？本記事ではユークリッドの互除法の原理から互除法の活用2選（最大公約数・一次不定方程式）、さらにユークリッドの互除法の裏ワザや長方形との関係までわかりやすく解説します。本記事を読んで、互除法マスターになろう！
ユークリッドの互除法（ユークリッドのごじょほう、英: Euclidean Algorithm ）は、2 つの自然数の最大公約数を求める手法の一つである。. これらの過程において、となる。
したがって、 ユークリッドの互除法とプログラム 岡田俊一 2016/06/30 数学科教科法aの模擬授業で「整数の性質」で”ユークリッドの互除法と不定方程式”を済ませました。 2 つの自然数 明示的に記述された最古の(問題) 1071 と 1029 の最大公約数を求める。 | 皦9.
とおき、ユークリッドの互除法の各過程で得られた を満たす割って余りを取るという操作を、最悪でも小さい方の十進法での桁数の約 5 倍繰り返せば、最大公約数に達する（最大公約数を求めるのに、実際、上の例で出てきた、1071 と 1029 の最大公約数を求める過程は、次のように表せる。
ユークリッドの互除法をはじめて学習したとき「なぜ、ユークリッドの互除法を使うと最大公約数が求められるのか、原理がわからない…」「ユークリッドの互除法の証明を見ても、いまいちピンとこない…」と思われる方は多いのではないでしょうか。
2 つの自然数 a, b (a ≧ b) について、a の b による剰余を r とすると、 a と b との最大公約数は b と r との最大公約数に等しいという性質が成り立つ。
よって、最大公約数は21である。
連除法（すだれ算、はしご算）とユークリッドの互除法を用いた最大公約数の求め方を、例題とともに確認します。連除法ではうまくいかないとき、公約数が思いつかないときは、ユークリッドの互除法を使えばラクラクです。 ユークリッドの互除法（ごじょほう）とは，大きな数字たちの最大公約数を素早く計算する方法です。この記事では，ユークリッドの互除法では，以下の例えば，ユークリッドの互除法を使って $390$ と $273$ の最大公約数を計算してみましょう。まず，$390$ を $273$ で割ると，商が $1$ で余りが $117$ です：よって，次に，$273$ を $117$ で割ります：よって，次に，$117$ を $39$ で割ります：割り切れました！ つまり「$117$ と $39$ の最大公約数」は $39$ です。以上により「$390$ と $273$ の最大公約数」が $39$ であることが分かりました。このように，以下では，$a$ と $b$ の最大公約数のことを $\mathrm{gcd}(a,b)$ と表します。「最大公約数」は画数が多くて書きたくないからです。難しい記号ではありません。ユークリッドの互除法で用いた，を証明します。$a$ を $b$ で割った商を $q$，余りを $r$ とおくと，・ $a,b$ がともに $m$ の倍数→ $r=a-bq$ も $m$ の倍数。・ $b,r$ がともに $m$ の倍数→ $a=bq+r$ も $m$ の倍数。以上2つの不等式より，$\mathrm{gcd}(a, b)=\mathrm{gcd}(b,r)$割り算を繰り返し行うと，余りの定義より $b > r$ なので数字はどんどん小さくなっていきます。そして，最後は必ず余りが $0$ になって停止します。そのときの割った数が，求めたい最大公約数になっています。素因数分解を利用して最大公約数を求めることもできますが，大きな数字の素因数分解よりも割り算の方が圧倒的に楽（計算量が少ない）なので応用現場ではユークリッドの互除法が用いられています。 $318691696$ と $4729749$ を素因数分解するのは相当な気合いが必要になるが割り算なら簡単にできそう。ただし，実際の入試問題でこんなに大きな整数はほとんど登場しないので，最大公約数を求めるだけだったら素因数分解を用いる方法で十分です。大学入試においては，ユークリッドの互除法は最大公約数を求める問題よりも，一次不定方程式 $ax+by=1$ に関する問題で活躍します。一次不定方程式 $ax+by=1$ の整数解 $(x,y)$ を求める問題を考えます。$8x+11y=1$ を満たす整数 $(x,y)$ を求める。よって，ポイントは，ユークリッドの互除法の式を用いて，ユークリッドの互除法：スポンサーリンクスポンサーリンク© 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. すなわち すなわち、 C(2952, 9.691%) C-band ==> Cバンド c contact ==> c接点 C-MACCS,Centre for Mathematical Modelling and Computer Simulation ==> 数理モデル・コンピュータシミュレーションセンター | 2ｾｴ ｸ ﾍ ｴ ﾍ ｴ ﾍ ｴ &・ t ｴ燻ﾀｿ@ ｬ ﾀt ｪG・ｰ ・・ ・$ ﾇ ｺ ﾇ ﾇ ｵ . ユークリッドの互除法では，以下の重要な性質を使って最大公約数の計算を行います。例えば，ユークリッドの互除法を使って 390 と 273 の最大公約数を計算してみましょう。まず，390 を 273 で割ると，商が 1 で余りが 117 です：390=273⋅1+117よって，重要な性質より「390 と 273 の最大公約数」＝「273 と 117 の最大公約数」次に，273 を 117 で割ります：273=117⋅2+39よって，重要な性質より「273 と 117 の最大公約数」＝「117 と 39 の最大公約数」次に，117 を 39 で割ります：117=39⋅3+0割り … 今、このとき 逆に、したがって、手続き的に記述すると、次のようになる。 最大公約数を求める方法と聞かれてあなたは何と答えますか？割り算を逆に書いて、小さい数からどんどん割っていくというのが真っ先に思い浮かぶと思います。それでは、3355と2379の最大公約数を求めてみましょう。このように大きい数の最大公約数を求めるとき、2でも割れない、3でも、5でも…と繰り返していくのは非常に時間がかかってしまいます。そんな悩みを解決することができるのが「ユークリッドの互除法」という方法です。どんなに大きな数字になっても少ない手順で最大公約数を求めるこ …
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ユークリッドの 互 除法 流れ図