A,B間の最小公倍数(Least Common Multiple : LCM)は最大公約数(GCD)を使って下記のように求めることができます。 LCM=（A*B）/ GCD(A,B) AとBをかけて、AとBの最大公約数で割れば求めることができます。 Pythonでの実装例は下記のとおりです。 ユークリッドの互除法では、以下の手順で最大公約数を求めます。 x を y で割り、余り r を求める; y を r で割り、その余り r_1 を求める; r を r_1 で割り、その余り r_2 を求める （繰り返す） 余りが 0 になったときの割る数が最大公約数 「 練習：最大公約数 参考書 例題2.12の最大公約数を求めるプログラムをPythonで記述しなさい。 アルゴリズムとして、教科書で説明されているユークリッドの互除法（Algorithm 2）を用いること。
最大公約数：ユークリッドの互除法整数A,B間の最大公約数(Greatest Common Divisor : GCD)は「ユークリッドの互除法」で求めることができます。下記はpythonでの実装例です。a,b=map(int,input()
整数 a と b の最大公約数を返します。a も b もゼロでないとすると、 gcd(a, b) の絶対値は a と b の両方を割り切る最も大きな整数です。 gcd(a, b) は b がゼロでなければ b と同じ符号になります。そうでなければ a の符号を取ります。 gcd(0, 0) は 0 を返します。 今回は、『整数における最大公約数を求めるアルゴリズムは、『当面はAOJを解きながら、アルゴリズムの再勉強をしていくつもりです。Ruby/Python/JavaでのAOJの回答は下のリポジトリに保存しておきます。もしツッコミとかあればぜひ！ ITエンジニア向け総合求人・学習サービス「paiza」の開発者が、プログラミングやITエンジニアの転職などについて書いています。プログラミング問題、特に競技プログラミングで出題される問題の中には、適したアルゴリズムを知っていると比較的楽に答えを導き出せる場合があります。ただ、メジャーなものだけでもたくさんありますし、「どのように学べばいいかよく分からない…」という方もいるかもしれません。そこで今回は、アルゴリズムの中でも定番の、最大公約数を求める「実はユークリッドの互除法は記録に残っている最古（紀元前300年ごろ）のアルゴリズムと言われています。それが現代でも使われているんですよ。どのようなアルゴリズムなのか説明するだけでなく、Pythonでコードも示しながら解説したいと思います。ちなみにユークリッドの互除法の説明に入る前に、最大公約数について理解しておく必要があるので簡単に説明します。（最大公約数は小学校の高学年で習いますが、遠い記憶になっている方もいるかもしれないので）最大公約数とはたとえば、12と18の最大公約数を求めてみます。12の約数は順に 1, 2, 3, 4, 6, 12 です。18の約数は順に 1, 2, 3, 6, 9, 18 です。それぞれの約数の中で最大の数字は6です。よってところで最大公約数を求めて何がうれしいかというと…たとえば、リンゴ12個とミカン18個を同じ個数ずつ箱に入れたいとき、最大公約数「6」が分かると箱が6つあれば均等に分けられることがわかります。確かに便利ですが……もっとテクノロジー分野の例を出すと、なお、公開鍵暗号については、以下の記事で詳しく解説していますので興味のある方はごらんください。（参考）さて、本題に入りましょう。ここからは与えられた2つの数字の最大公約数を求めるアルゴリズムについて考えてみます。求める過程を順番に書き出してみると…実際にPythonでコードを書いてみましょう。単純なアルゴリズムですがとりあえず答えを求めることができました。ただこの計算方法だと、与えられた数が小さいときはいいのですが、たとえば x, y が10億ならば10億ループを2回、さらに共通の数を見つけるために割り切れた数同士の数の2乗、そして最大公約数を見つけるための共通の数分の計算が必要となってしまいます。このアルゴリズムを改善するなら、まず割っていく際に x - 1 まで割る必要はなく、最大で x / 2 までで十分です。共通の数を求める部分も全組み合わせをチェックするところは改善の余地があります。そこで前述の方法より計算量を抑えて最大公約数を求めるために、今回のメインテーマである「ユークリッドの互除法」というアルゴリズムを説明します。ユークリッドの互除法では、以下の手順で最大公約数を求めます。（繰り返す）いまいちピンとこないので、さきほども例にした数字を入れて導いてみます。x = 12、y = 18 とすると、x を y で割った余り r は 12このアルゴリズムのコードは以下のように書くことができます。ユークリッドの互除法のアルゴリズムを使った手順を書いた時点で、割り算の余りを求める単純な繰り返しだなと分かりましたが、再帰を使うとコードはこんなにもシンプルに書けるんです。結果はもちろん最初に書いたコードと同じですよ。再帰処理は慣れないとちょっと難しいなという印象を持つと思いますが、実際に自分でコードを書きながら理解していきましょう。ちなみに再帰処理について解説した記事があります。Pythonでプログラミング問題をときながら説明しているので、よければ参考にしてみてください。ユークリッドの互除法を使うと、計算量も小さいほうの数字の桁数の約5倍繰り返せば必ず答えが出ます。これは「ラメの定理」と呼ばれています。詳しくは簡単に説明すると、ユークリッドの互除法において余りは必ず小さくなっていきますが、商が 1 ということを繰り返すのが最悪のケース（効率が悪い）となっています。たとえば以下のようなケースが該当します。x = 13, y = 8（xをyで割ると商は1、余りは5）数学やアルゴリズムが好きな方は気がつくかもしれませんが、これらの数字はフィボナッチ数列となっていることが分かります。フィボナッチ数列は以下の漸化式で定義されます。F0 = 0,これを第0項から第21項まで見ていくと…0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ……フィボナッチ数は、最初の2つが1で、3つめ以降は前の2つを足した値になるのですが、この数字の並び、さきほどの商が1になるケースで出てきた数字ですね。また、フィボナッチ数列は数字が大きくなればなるほど増え方が大きいことが分かります。最初のいくつかの項までは1桁だった数字が、21項目では10,000を超えています。ということは逆に考えるとユークリッド互除法では最悪の場合、フィボナッチ数列の大きな数字からさかのぼって小さくなっていくのと同等の回数処理が必要となります。増え方がどんどん大きくなるものを逆にさかのぼる処理ということは、大きな数字になればなるほど計算回数の増加が抑えられると言えます。このように考えるとユークリッド互除法が計算量が小さくなることが何となく理解できるかと思います。上のコード例はどちらも12と18の最大公約数を求めていて、あまり計算量が減った恩恵が感じられないので、 print(gcd(12, 18)) の部分を大きな数字に書き換えて実行してみてください。「フィボナッチ数列はじめて聞いた…」という方は、冒頭でも紹介したpaizaラーニングの「（参考）最大公約数を効率よく求めるアルゴリズムである「ユークリッドの互除法」について学んできました。冒頭でも述べたとおり、ユークリッドの互除法は記録として残る最古のアルゴリズムです。そんな時代からあるアルゴリズムが公開鍵暗号の鍵を作る上で必要とされ、インターネットを支えていたりするなんて思いもしないですよね。最大公約数は学校で習った手順と同じような処理を書けば求めることはできます。ただし、コード量や計算量は確実にアルゴリズムを知っていたほうが減らせます。今回Pythonでコードを書きましたが、基本的な文法について学習したい方はまた、paizaが提供するプログラミングスキルを測るサービス「詳しくは詳しくは
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